Le système binaire est un système de numération utilisé en informatique pour représenter les données sous forme de 0 et de 1. Contrairement au système décimal qui utilise 10 chiffres (de 0 à 9), le système binaire n’en utilise que deux, d’où son nom : bi-signifiant deux. Ce système est à la base de toutes les opérations informatiques et comprendre son fonctionnement est essentiel pour tout programmeur. Dans cet article, nous allons expliquer comment coder des nombres en binaire et comment les convertir en décimal.

Le principe du système binaire

Le système binaire repose sur un principe simple : chaque chiffre (0 ou 1) représente une valeur différente en fonction de sa position dans le nombre. Par exemple, dans le nombre binaire 101, le 1 à la droite représente la valeur de 1, le 0 au milieu représente la valeur de 0 et le 1 à gauche représente la valeur de 4 (2 x 2). En somme, chaque position dans un nombre binaire correspond à une puissance de 2.

Pour mieux comprendre ce principe, voici un tableau récapitulatif des puissances de 2 :

Ainsi, dans le nombre binaire 101, la première position à droite correspond à la puissance de 2⁰, la deuxième à la puissance de 2¹ et la troisième à la puissance de 2². En additionnant toutes ces valeurs, on obtient le nombre décimal correspondant, soit 5 dans notre exemple.

La conversion binaire-décimal

Maintenant que nous avons compris le principe du système binaire, voyons comment convertir un nombre binaire en décimal. Pour cela, il suffit de suivre ces étapes :

1. Écrivez le nombre binaire en partant de la droite.
2. À chaque position, multipliez le chiffre par la puissance de 2 correspondante.
3. Additionnez toutes ces valeurs pour obtenir le nombre décimal.

Prenons l’exemple du nombre binaire 1101. En suivant ces étapes, nous obtenons :

1. 1 x 2⁰ = 1
2. 0 x 2¹ = 0
3. 1 x 2² = 4
4. 1 x 2³ = 8

En additionnant ces valeurs, on obtient le nombre décimal 13. Ainsi, 1101 en binaire équivaut à 13 en décimal.

Il est également possible de faire la conversion dans l’autre sens, c’est-à-dire de décimal en binaire. Pour cela, il suffit de suivre ces étapes :

1. Divisez le nombre décimal par 2 et notez le reste de la division.
2. Divisez le résultat de la division précédente par 2 et notez le reste.
3. Répétez cette opération jusqu’à obtenir un quotient de 0.
4. Écrivez les restes obtenus de droite à gauche pour obtenir le nombre binaire.

Prenons l’exemple du nombre décimal 25. En suivant ces étapes, nous obtenons :

1. 25 / 2 = 12 (reste = 1)
2. 12 / 2 = 6 (reste = 0)
3. 6 / 2 = 3 (reste = 0)
4. 3 / 2 = 1 (reste = 1)
5. 1 / 2 = 0 (reste = 1)

En écrivant les restes de droite à gauche, on obtient le nombre binaire 11001. Ainsi, 25 en décimal équivaut à 11001 en binaire.

Les opérations de base en binaire

Maintenant que nous savons convertir des nombres binaires en décimaux et vice-versa, voyons comment effectuer des opérations de base en binaire : l’addition, la soustraction, la multiplication et la division.

L’addition

L’addition en binaire fonctionne de la même manière que l’addition en décimal. Il suffit de suivre ces étapes :

1. Écrivez les deux nombres binaires en les alignant sur la droite.
2. Ajoutez les chiffres de droite à gauche en commençant par les unités.
3. Si le résultat dépasse 1, retenir 1 et ajouter le reste au chiffre suivant.

Prenons l’exemple de l’addition binaire 101 + 111. Nous obtenons :

Ainsi, 101 + 111 équivaut à 1100 en binaire.

La soustraction

La soustraction en binaire suit également les mêmes règles que la soustraction en décimal. Voici les étapes à suivre :

1. Écrivez les deux nombres binaires en les alignant sur la droite.
2. Déduisez les chiffres de droite à gauche en commençant par les unités.
3. Si le chiffre du minuend est inférieur à celui du soustracteur, ajoutez 2 au chiffre du minuend et soustrayez 1 à celui de gauche.

Prenons l’exemple de la soustraction binaire 1101 – 101. Nous obtenons :